LK Mathematik

Elemente einer Kurvendiskussion

Jst. 11/2

1. Definitionsmenge

Überprüfung, welche x für den Funktionsterm eine gültige Operation darstellen.
Bei ganz-rationalen Funktionen: D(¦ ) =
Bei gebrochen-rationalen Funktionen:
 Ermittlung der Nullstellen der Nennerfunktion N(x)
D(¦ ) = \ {x | N(x) = 0}
Bei Wurzelfunktionen:
 Ermittlung der Werte des Radikanten R(x), die größer oder gleich 0 sind
D(¦ ) = {x | R(x) ³ 0}
Bei Logarithmusfunktionen:
 Ermittlung der Werte des Arguments L(x), die größer 0 sind
D(¦ ) = {x | L(x) > 0}

2. Symmetrie

Überprüfung auf gerade oder ungerade Funktion.
¦ ist gerade Funktion;
Graph G(¦ ) ist achsensymmetrisch zur y-Achse
[a.s]		 Es gilt: ¦ (-x)=¦ (x).

Bei ganz-rationale Funktionen:
Nur gerade Exponenten von x (0 ist gerade!).

Bei gebrochen-rationalen Funktionen:
in den Fällen g/g und u/u.
¦ ist ungerade Funktion;
Graph G(¦ ) ist punktsymmetrisch zum Ursprung
[p.s]		 Es gilt: ¦ (-x)= – ¦ (x).

Bei ganz-rationale Funktionen:
Nur ungerade Exponenten von x.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen:
in den Fällen u/g und g/u.
¦ ist weder gerade, noch ungerade;
Graph G(¦ ) ist weder punkt- noch achsensymmetrisch (nicht symmetrisch) [n.s]		 Es ergeben sich bei ¦ (- x) = ¦ (x) und
¦ (-x) =– ¦ (x) falsche Aussagen.

Bei ganz-rationale Funktionen:
sowohl gerade, als auch ungerade Exponenten von x.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen:
mindestens eine der Zähler- oder Nennerfunktion ist nicht symmetrisch.

3. Fernverhalten (Verhalten für betragsgroße x)

Untersuche, wie sich die Funktion für x ® ± ¥ verhält.

Bestimme ¦ (x) und ¦ (x).
Bei ganz-rationalen Funktionen: Klammere das x mit der höchsten Potenz aus.
Bestimme den Grenzwert der Klammer und der Potenzfunktion dann getrennt. Der Grenzwert der Klammer beeinflußt das Vorzeichen. Es sind nur die Werte ± ¥ möglich.
Bei gebrochen-rationalen Funktionen: Bestimme die Asymptotenfunktion durch Polynomdivision, so daß ¦ (x) = a(x) + R(x) ist. Dabei ist a(x) eine ganz-rationale Funktion (Asymptotenfunktion) und R(x) ein gebrochen-rationaler Rest. Das Verhalten richtet sich nach dem ganz-rationalen Anteil a(x).

 

4. Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge

Bestimme, ob die Funktion an der Definitionslücke eine hebbare Lückenstelle, eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel oder sogar eine Sprungstelle aufweist.
Bei ganz-rationalen Funktionen: Nicht möglich. Punkt entfällt dort, da D(¦ ) = ist.
Bei gebrochen-rationalen Funktionen: Zerlege Zähler- und Nennerfunktion in Linearfaktoren und kürze soweit wie möglich.
  • Ist ein Linearfaktor durch Kürzen vollständig aus dem Nenner entfernbar, so liegt an der zugehörigen Stelle eine behebbare Lückenstelle vor.
  • Ist ein Linearfaktor nicht durch Kürzen vollständig aus dem Nenner entfernbar und bleibt er in gerader Potenz zurück (z.B.
    (x-3)4 ), dann liegt an der zugehörigen Stelle eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (VZW) vor. Bestimme in diesem Fall die einseitigen Grenzwerte an dieser Stelle durch Schlußfolgerung (oder Einsetzen eines nahen Wertes).
  • Ist ein Linearfaktor nicht durch Kürzen vollständig aus dem Nenner entfernbar und bleibt er in ungerader Potenz zurück (z.B.
    (x-3)3 ), dann liegt an der zugehörigen Stelle eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW) vor. Bestimme in diesem Fall die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte.

Asymptoten

Ermittle als Hilfslinien für den Graphen die Asymptoten. Zeichne Asymptoten gestrichelt in die Zeichnung ein!

  1. Senkrechte Asymptoten liegen an den Polstellen vor. Ist x0 eine Polstelle, dann ist die Gerade mit der Gleichung x = x0 senkrechte Asymptote an dieser Stelle.
  2. Waagerechte oder schiefe Asymptoten ergeben sich als Ergebnis des Fernverhaltens. Sie werden bei gebrochen-rationalen Funktionen durch den ganz-rationalen Term a(x) bestimmt.
    Ist a(x) = 0 oder ist a(x) = c, so handelt es sich um eine waagerechte Asymptote. Die Asymptote ist dann die x-Achse oder eine Parallele im Abstand c dazu.
    Ist a(x) eine lineare Funktion, dann ist die zugehörige Gerade schiefe Asymptote.
    Ist a(x) eine quadratische oder kubische Funktion, dann kann man den (gekrümmten) Graphen dieser Funktion ebenfalls als Asymptote auffassen.

5. Schnittpunkte mit den Achsen des Koordinatensystems

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) und der y-Achse (Nullwert; y-Achsenabschnitt). Gib jeweils die Punkte an.
Nullstellen: Es gilt: ¦ (x) = 0.
Überprüfe, ob die Lösungen in der Definitionsmenge enthalten sind.
y-Achsenabschnitt/Nullwert: Bestimme ¦ (0). Überprüfe, ob die Funktion überhaupt an der Stelle x=0 definiert ist.

6. Ableitungen

Bilde die ersten drei Ableitungen von ¦ (x). Ggf. ist der Definitionsbereich von ¦ ¢ und ¦ ¢ ¢ zu ermitteln.
Bei gebrochen-rationalen Funktionen: Nutze ggf. die Möglichkeiten der verkürzten Ableitungen.

Bestimme also ¦ ¢ (x) vollständig, den Zähler der zweiten Ableitung Z2(x) und seine Ableitung Z2 ’(x)

7. Extrempunkte

Bestimme die Extrempunkte von ¦ (x), indem das notwendige Kriterium und ein hinreichendes Kriterium auf die Funktion angewendet wird.

Überprüfe, ob die Lösungen des notwendigen Kriteriums in den Definitionsmengen D(¦ ) und D(¦ ¢ ) enthalten ist. Wenn nein, können die Stellen keine Extremstellen sein.

Ist nach Extremstellen gefragt, reichen die x-Werte; bei Extrempunkten sind jeweils auch die Funktionswerte zu ermitteln.

Ist die Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall definiert, untersuche die Randwerte auf absolute Extrema (Randextrema) durch Einsetzen in den Funktionsterm.
I. Notwendiges Kriterium: Löse ¦ ¢ (x) = 0. Die Lösungen sind mögliche Kandidaten für Extremstellen.
IIa. Hinreichendes Kriterium (mittels ¦ ¢ ¢ ):

 Hat ¦ ¢ ¢ an der möglichen Extremstelle ein negatives Vorzeichen, dann liegt dort ein relatives Maximum vor.

Hat ¦ ¢ ¢ an der möglichen Extremstelle ein positives Vorzeichen, dann liegt dort ein relatives Minimum vor.

Ist der Wert von ¦ ¢ ¢ an der möglichen Extremstelle 0, kann (zunächst) keine Aussage getroffen werden; es liegt möglicherweise eine Sattelstelle vor.
IIb. Hinreichendes Kriterium (VZW-Kriterium):
– nur im Notfall –		 Ein VZW von – nach + von ¦ ¢ (x) bedeutet, daß an der Stelle ein relatives Minimum vorliegt.

Ein VZW von + nach - von ¦ ¢ (x) bedeutet, daß an der Stelle ein relatives Maximum vorliegt.

Liegt kein VZW vor, kann keine Aussage über Extrema getroffen werden.

Achtung: Bei manchen Funktionen muß auf die erste gerade Ableitung ungleich Null statt ¦ ¢ ¢ zurückgegriffen werden!

8. Wendepunkte

Bestimme die Wendepunkte von ¦ (x), indem das notwendige Kriterium und ein hinreichendes Kriterium auf die Funktion angewendet wird.

Überprüfe, ob die Lösungen des notwendigen Kriteriums in den Definitionsmengen D(¦ ) und D(¦ ¢ ¢ ) enthalten ist. Wenn nein, können die Stellen keine Wendestellen sein.

Ist nach Wendestellen gefragt, reichen die x-Werte; bei Wendepunkten sind jeweils auch die Funktionswerte zu ermitteln.

Bestimme ggf., ob die Funktion Sattelpunkte besitzt.
I. Notwendiges Kriterium: Löse ¦ ¢ ¢ (x) = 0. Die Lösungen sind mögliche Kandidaten für Wendestellen.
IIa. Hinreichendes Kriterium (mittels ¦ ¢ ¢ ¢ ):

 Hat ¦ ¢ ¢ ¢ an der möglichen Wendestelle ein negatives Vorzeichen, dann liegt dort eine Wendestelle mit Links-Rechts-Kombination vor.

Hat ¦ ¢ ¢ ¢ an der möglichen Wendestelle ein positives Vorzeichen, dann liegt dort eine Wendestelle mit Rechts-Links-Kombination vor.

Ist der Wert von ¦ ¢ ¢ ¢ an der möglichen Extremstelle 0, kann (zunächst) keine Aussage getroffen werden.
IIb. Hinreichendes Kriterium (VZW-Kriterium):
– nur im Notfall –		 Ein VZW von – nach + von ¦ ¢ ¢ (x) bedeutet, daß dort eine Wendestelle mit Rechts-Links-Kombination vorliegt.

Ein VZW von + nach - von ¦ ¢ ¢ (x) bedeutet, daß dort eine Wendestelle mit Links-Rechts-Kombination vorliegt.

Liegt kein VZW vor, kann keine Aussage über Extrema getroffen werden.

Achtung: Bei manchen Funktionen muß auf die erste ungerade Ableitung ungleich Null statt ¦  ¢ ¢ ¢ zurückgegriffen werden!
   

Sattelpunkte:9. Graph der Funktion

Hier werden die Ergebnisse der Punkte 1. bis 8. zusammengetragen.

Zeichne den Graphen der Funktion. Sofern nichts anderes vermerkt ist, wähle Skalierung und Maßstab entsprechend den Bereichen der vorkommenden Werte auf der x- und y-Achse. Trage die Punkte, die die Diskussion ergeben hat, in die Zeichnung ein (Achsenschnittpunkte; Extrem- und Wendepunkte). Zeichne ggf. die Asymptoten gestrichelt ein.

Zusatzaufgaben (nach Anforderung)

Bestimmung von Tangenten (speziell von Wendetangenten):

Die Tangete in einem Punkt P (xP | ¦ (xP) ) des Graphen der Funktion ¦ (x) bestimmt sich über die Tangentengleichung

Dabei kann P auch ein Wendepunkt W sein.

Ist ¦ (x) an der Stelle xP nicht differenzierbar, dann ist die Gerade mit der Gleichung x = xP Tangente.

Nullstellenbestimmung mit dem Newton-Verfahren

Sofern die Nullstellen mit dem "herkömmlichen" Verfahren nicht bestimmt werden können, wende auf eine Näherungslösung x0 das Newton-Verfahren an und iteriere eine Lösung auf drei gültige Stellen genau:

© Ralph-Erich Hildebrandt, Neuss / 1. April 1999